Una noche cuando el hotel esta completo, llega un nuevo cliente, pero el hotel de Hilbert nunca deja a nadie sin habitación, por lo que el director del Hotel decide recolocar a todos los clientes que tiene en ese momento del siguiente modo, El que tiene la habitación número 1 pasa a la 2, el que tiene la número 2 pasa a la 3, el de la 3 a la 4 y así sucesivamente hasta completar las infinitas habitaciones. Queda por lo tanto libre la habitación número 1 en la cual es alojado el nuevo cliente.
Pero como en la ciudad hay un importante congreso matemático al cual asisten infinitos matemáticos y como el Hotel de Hilbert es famoso por no dejar a nadie en la calle, esos infinitos matemáticos acueden al Hotel en busca de infinitas habitaciones.
El director tras el sofoco inicial decide dar orden de que sean recolocados los clientes que hay alojados del siguiente modo. Cada cliente pasa a otra habitación cuyo número es el doble del que tiene, es decir, la habitación número 1 pasa a la 2, la 2 a la 4, la 3 a la 6 y así sucesivamente. Con esta nueva colocación quedan libres las infinitas habitaciones de número impar listas para alojar a los infinitos asistentes al congreso de Matemáticas.
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